Lotto economico

di Joannes Vermorel, Gennaio 2012

Il lotto economico, o EOQ (dall'inglese Economic Order Quantity, quantità economica di riordino) è la quantità di riapprovvigionamento che minimizza i costi totali di gestione del magazzino. Quando il livello di scorte raggiunge il punto di riordino, viene sollecitato un nuovo ordine. Il lotto economico viene calcolato per minimizzare una serie di costi, come costi di acquisto (che possono includere sconti per grandi quantitativi), costi di mantenimento a magazzino, costi di ordine, ecc. Ottimizzare il lotto economico è un'operazione che dovrebbe andare di pari passo con l'ottimizzazione delle scorte di sicurezza, al fine di individuare la soglia ottimale per la creazione di un nuovo ordine.

Modello e formula

La formula classica del lotto economico (vedere la Formula di Wilson più avanti) si presenta come una sorta di compromesso tra i costi di ordine, che ipotizziamo siano una tariffa fissa per ordine, e i costi di mantenimento a magazzino. Si tratta di una formula che risale al 1913 ed è ormai arcinota; tuttavia, raccomandiamo di non applicare questa formula a una moderna catena logistica, poiché il ragionamento alla base di questa formula è ormai obsoleto.

La formula classica parte dal presupposto che l'atto stesso di effettuare un ordine sia uno dei business driver fondamentali: nel 1913, quando per tenere traccia dei libri contabili serviva un esercito di impiegati, lo era sicuramente; oggi, con i software gestionali e i sistemi EDI, è diventato un fattore insignificante. Di conseguenza, l'"ottimizzazione" che possiamo ottenere con questa formula è di poco conto, anche perché ignora completamente le possibili riduzioni di prezzo per grandi quantitativi.

Scarica il foglio Excel: eoq-calculator.xlsm (calcolo illustrato)

Ti proponiamo quindi una variante più moderna di questa formula, che ottimizza il compromesso tra costi di mantenimento a magazzino e sconti per grandi quantitativi. Introduciamo alcune variabili.

• Sia $Z$ la domanda nel lead time.
• Sia $H$ il costo unitario di mantenimento a magazzino per la durata del lead time (1).
• Sia $\delta$ la quantità delta di scorte necessarie per raggiungere il punto di riordino (2).
• Sia $\mathcal{P}$ il prezzo di acquisto unitario, funzione dipendente dalla quantità di ordine $q$.
  

(1) Il periodo di tempo considerato corrisponde al lead time. Quindi, invece di considerare il più comune costo annuo di mantenimento a magazzino $H_y$, consideriamo $H = \frac{d}{365}H_y$, dove $d$ è il lead time espresso in giorni.

(2) La quantità delta deve includere sia le scorte disponibili $q_{hand}$ che le scorte già ordinate $q_{order}$, che danno l'equazione $\delta = R - q_{hand} - q_{order}$, dove $R$ è il punto di riordino. Intuitivamente, $\delta+1$ è la quantità minima da ordinare per mantenere il livello di servizio desiderato.

Il lotto economico è dato da (dimostrazione più in basso): $$Q = \underset{q=\delta+1..\infty}{\operatorname{argmin}}\left(\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)\right)$$ Benché possa sembrare complessa, la funzione può essere facilmente calcolata con Microsoft Excel, come illustrato nel foglio di calcolo qui sopra.

E il costo di ordine?

A prima vista, potrebbe sembrare che il costo di ordine sia pari a zero, ma non è così. Infatti, il quadro che abbiamo introdotto è molto flessibile e il costo di ordine, se esiste, può essere inserito all'interno della funzione di prezzo $\mathcal{P}$.

Funzione di costo

Vogliamo elaborare un modello della funzione di costo per una quantità di ordine che tenga conto degli sconti per grandi quantitativi. Introduciamo quindi il punto di riordino $R$. Il costo di gestione del magazzino è la somma del costo di mantenimento a magazzino e del costo di acquisto, ossia: $$C(q)=\left(R+\frac{q-\delta-1}{2}\right)H+Z\mathcal{P}(q)$$ Dal punto di vista dell'analisi ammortizzata per il periodo del lead time, la quantità totale da ordinare sarà pari alla domanda nel lead time $Z$.

Poiché il livello delle scorte varia continuamente, dobbiamo considerare riordini minimi (es. $q=\delta+1$). Il livello medio delle scorte sarà allora pari al punto di riordino $R$. Visto che stiamo considerando solo le quantità superiori a $\delta+1$, le quantità ordinate in più aumenteranno il livello medio di scorte (e, di conseguenza, rimanderanno il momento in cui verrà raggiunto il punto di riordino successivo).

$(q-\delta-1)/2$ rappresenta la modifica del livello delle scorte causata dal riordino, ipotizzando che la domanda nel lead time sia distribuita normalmente per l'intera durata del lead time. Il fattore 1/2 è giustificato perché un aumento nella quantità di ordine di N non fa che aumentare il livello di scorte N/2.

Minimizzare la funzione di costo

Per minimizzare $C(q)$, cominciamo con l'isolare la parte che non dipende da $q$, con: $$C(q)=RH+\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)$$ Poiché $RH$ non dipende da $q$, ottimizzare $C(q)$ equivale a ottimizzare $C^*(q)$, dove: $$C^*(q)=\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)$$ In questo contesto, poiché la funzione di sconto per grandi quantitativi $\mathcal{P}$ è arbitraria, non esiste una soluzione algebrica diretta per minimizzare la formula. Ciò non significa, però, che la minimizzazione sia impossibile.

Una soluzione semplice per minimizzare $C^*(q)$ consiste nell'eseguire una esplorazione numerica intensa (ingenua), che calcoli la funzione per una serie di valori di $q$. Virtualmente, infatti, nessuna attività ha bisogno di quantità superiori a 1.000.000 di unità, e anche un semplice computer desktop riesce a esplorare tutti i valori di costo per $q=1..1.000.000$ in meno di 1 secondo, semplicemente utilizzando Excel.

In pratica, però, il calcolo può essere accelerato significativamente se ipotizziamo che $\mathcal{P}(q)$ sia una funzione strettamente decrescente, ossia che il prezzo unitario decresca strettamente quando le quantità di ordine aumentano. Infatti, se $\mathcal{P}(q)$ decresce, possiamo iniziare l'esplorazione dei valori a $q=\delta+1$, ripetere e fermarci quando arriviamo a $C^*(q+1)>C^*(q)$.

Nella pratica, il prezzo unitario raramente aumenta insieme alle quantità, ma possiamo comunque osservare dei salti nella curva se le merci sono ottimizzate per pallet, o altri tipi di container che favoriscono dimensioni particolari.

Formula di Wilson

Il metodo più noto per calcolare il lotto economico è la formula di Wilson del 1913. La formula parte da questi presupposti:

• il costo di ordine è fisso;
• la percentuale di domanda è nota e distribuita regolarmente durante tutto l'anno;
• il lead time è fisso;
• il prezzo di acquisto unitario è costante, quindi non sono ammessi sconti.
  

Introduciamo le seguenti variabili:

• sia $D_y$ la quantità di domanda annuale;
• sia $S$ il costo di ordine fisso (non il costo unitario, ma il costo associato alle operazioni di ordine e spedizione);
• sia $H_y$ il costo di mantenimento a magazzino annuale.
  

Con questi presupposti, la formula di Wilson ottimale è: $$Q=\sqrt{\frac{2D_yS}{H_y}}$$ Nella pratica, consigliamo di usare una variante della formula regolata per le proprie esigenze, dove $D_y$ va sostituito con $D$, la domanda prevista per la durata del lead time (ossia la domanda nel lead time $Z$ diviso il lead time), e dove $H_y$ va sostituito con $H$, i costi di mantenimento a magazzino durante il lead time.

Le due formule a confronto

Per le attività commerciali, sia al dettaglio che all'ingrosso, siamo persuasi che la formula ad hoc per il lotto economico, che abbiamo presentato all'inizio della pagina, sia più adatta (e quindi più redditizia) rispetto alla formula di Wilson. Per le aziende di produzione, la questione è più controversa: in particolare, se l'ordine innesca una nuova produzione, allora i costi di ordine potrebbero davvero essere elevati, mentre i benefici sul costo marginale unitario sarebbero insignificanti. In questo caso, la formula di Wilson sarebbe più appropriata.