Optimale Bestellmenge (EOQ)

von Joannes Vermorel, Januar 2012

EOQ (Economic Order Quantity) ist die Bestellmenge der Nachschubaufträge, aufgrund derer die Gesamtsumme der Lagerhaltungskosten minimiert wird. Die Bestellung wird ausgelöst, wenn der Lagerbestand auf den Reorder-Point sinkt. Die EOQ wird berechnet, um eine Kombination aus Kosten, wie den Anschaffungskosten (die Mengenrabatte enthalten können), Lagerhaltungskosten, Bestellkosten usw., zu minimieren. Eine Optimierung der Bestellmenge ergänzt die Optimierung des Sicherheitsbestands, deren Fokus auf der Berechnung eines optimalen Grenzbereichs zum Auslösen einer Neubestellung liegt.

Modell und Formel

Die klassische EOQ-Formel (siehe Klassische Losformel Abschnitt unten) ist im Wesentlichen ein Ausgleich zwischen den Bestellkosten, unter der Annahme eines Pauschalbetrags pro Bestellung, und den Lagererhaltungskosten. Obwohl diese im Jahr 1913 entstandene Formel einen sehr hohen Bekanntheitsgrad können wir nicht empfehlen, solche Formeln im Kontext von modernen Supply-Chains zu nutzen. Die mathematischen Voraussetzungen dieser Formel sind heutzutage einfach falsch.

Die historische Formel geht davon aus, dass das Aufgeben der Bestellung der grundlegen Geschäftstreiber ist. 1913, als eine Menge Mitarbeiter manuell die Bücher überprüfen mussten, war dies zweifellos ein wichtiger Faktor, doch mit den heutigen Bestandsverwaltungssoftware und auch EDI, ist dieser Faktor unbedeutend. Dies hat zur Folge, dass die durch diese Formel vorgenommene „Optimierung“ nicht sehr sinnvoll ist und auch Preisnachlässe bei größeren Bestellmengen keineswegs berücksichtigt werden.

Exceltabelle herunterladen: eoq-calculator.xlsm (illustrierte Kalkulation)

In diesem Zusammenhang unterbreiten wir Ihnen hier eine Variante der EOQ-Formel, die den Ausgleich zwischen Lagerhaltungskosten und Mengenrabatten optimiert. Hier die benötigten Variablen:

• $Z$ = Leitnachfrage
• $H$ = Lagerkosten pro Einheit für die Dauer der Durchlaufzeit (1)
• $\delta$ = zum Erreichen des Reorder-Points notwendige Lagerbestandsmenge Delta (2)
• $\mathcal{P}$ = Anschaffungskosten pro Einheit - eine von der Bestellmenge $q$ abhängige Funktion
  

(1) Bei dem hier in Betracht gezogenen Zeitrahmen handelt es sich um die Durchlaufzeit. Von daher berücksichtigen wir anstelle der üblicheren jährlichen Lagerhaltungskosten, $H_y$, $H = \frac{d}{365}H_y$, unter der Annahme, dass es sich bei $d$ um die Durchlaufzeit in Tagen handelt.

(2) Die Menge Delta muss sowohl den Warenbestand $q_{hand}$ als auch den bestellten Warenbestand $q_{order}$ berücksichtigen, wodurch folgende Relation entsteht: $\delta = R - q_{hand} - q_{order}$, wobei $R$ der Reorder-Point ist. $\delta+1$ ist somit die Mindestbestellmenge, die notwendig ist, um den erwünschten Service-Level aufrechtzuerhalten.

Die optimale Bestellmenge ergibt sich folgendermaßen (detaillierte Begründung folgt): $$Q = \underset{q=\delta+1..\infty}{\operatorname{argmin}}\left(\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)\right)$$ Obwohl sie kompliziert erscheint, kann diese Funktion dank Microsoft Excel leicht berechnet werden. Bitte laden Sie hierzu oben genannte Exceltabelle herunter.

Und die Bestellkosten?

Auf den ersten Blick mag es vielleicht so aussehen, als ob wir von Null Bestellkosten ausgehen. Dem ist allerdings nicht so. Tatsächlich ist das hier vorgestellte System äußerst flexibel und die Bestellkosten (falls vorhanden) können in die Preisfunktion $\mathcal{P}$ eingeschlossen werden.

Kostenfunktion

Um ein Modell der Kostenfunktion für die Bestellmenge unter Berücksichtigung von Mengenrabatten zu erstellen, wird der Reorder-Point $R$ benötigt. Die Lagerkosten sind die Summe aus Lagerhaltungskosten und Beschaffungskosten: $$C(q)=\left(R+\frac{q-\delta-1}{2}\right)H+Z\mathcal{P}(q)$$ Berücksichtigt man allerdings den Standpunkt der amortisierten Laufzeitanalyse über die Laufzeit der Durchlaufzeit, entspricht die zu bestellende Menge der Leitnachfrage. $Z$.

Zusätzlich schwankt der Lagerbestand beständig. Hält man sich jedoch strikt an die Nachbestellung von Mindestmengen (i.e. $q=\delta+1$), entspricht der durchschnittliche Lagerbestand dem Reorder-Point $R$. Berücksichtigen wir jedoch eine Bestellmenge größer als $\delta+1$, erhöhen diese zusätzlich bestellten Mengen den durchschnittlichen Lagerbestand (und verzögern zudem den Zeitpunkt des nächsten Reorder-Points).

$(q-\delta-1)/2$ repräsentiert die Verschiebung des Lagerbestands, ausgelöst durch die Nachbestellung, unter der Annahme, dass die Leitnachfrage gleichmäßig auf die Dauer der Durchlaufzeit verteilt ist. Der Faktor 1/2 ist gerechtfertigt, da eine erhöhte Bestellmenge von N den durchschnittlichen Lagerbestand lediglich um N/2 erhöht.

Minimierung der Kostenfunktion

Um $C(q)$ zu minimieren, isoliert man zuerst den Teil, der nicht von $q$ abhängig ist: $$C(q)=RH+\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)$$ Da $RH$ nicht von $q$ abhängig ist, entspricht die Optimierung von $C(q)$ der Optimierung von $C^*(q)$, wobei: $$C^*(q)=\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)$$ In diesem Zusammenhang gilt, da es sich bei der Mengenrabatt-Funktion $\mathcal{P}$ um eine frei wählbare Funktion handelt, es gibt keine direkte algebraische Lösung zur Minimierung der Formel. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die Minimierung schwer zu lösen ist.

Eine einfache Minimierung fü $C^*(q)$ besteht aus einer (naiven) umfangreichen numerischen Berechnung, die darin besteht, die Funktion für eine erweiterte Spanne der $q$ Werte zu berechnen. Tatsache ist, dass kaum ein Unternehmen Bestellmengen von über 1.000.000 Einheiten benötigt. Die Berechnung aller Kosten durch einen Computer für $q=1..1.000.000$ dauert weniger als 1 Sekunde - auch unter Verwendung von Excel auf einem herkömmlichen Desktop-Computer.

In der Praxis kann diese Berechnung, unter der Annahme, dass $\mathcal{P}(q)$ eine stets abnehmende Funktion ist, d. h. die Kosten pro Einheit nehmen beständig ab, während die die Bestellmenge zunimmt, extrem beschleunigt werden. Nimmt $\mathcal{P}(q)$ ab, können wir mit der Berechnung bei $q=\delta+1$ beginnen, diese wiederholen und beenden, wenn wir folgenden Punkt erreichen: $C^*(q+1)>C^*(q)$

In der Praxis ist es eher selten, dass der Einzelpreis mit der Menge zunimmt. Jedoch sind zeitweise lokale Abweichungen in den Kurvenlinien zu verzeichnen, sollten Sendungen für den Versand auf Transportpaletten oder in sonstigen Behälter, die bestimmte Paketgrößen erforderen, optimiert werden.

Klassische Losformel

Die bekannteste EOQ-Formel ist die im Jahr 1913 entwickelte Klassische Losformel (auch Wilson-Formel genannt). Die Formel basiert auf folgenden Annahmen:

• Konstante Bestellkosten
• Nachfrage ist bekannt und verteilt sich gleichmäßig über das Geschäftsjahr
• Feste Durchlaufzeit
• Konstanter Einkaufspreis, d. h. keine Rabatte
  

Variablen:

• $D_y$ = jährliche Nachfragemenge
• $S$ = fixe Pauschalkosten pro Bestellung (keine Stückkosten, sondern die mit dem Bestellvorgang und Versand verbundenen Kosten)
• $H_y$ = jährliche Lagerhaltungskosten.
  

Unter diesen Voraussetzungen, entspricht die optimale EOQ-Formel: $$Q=\sqrt{\frac{2D_yS}{H_y}}$$ Für die praxisbezogene Anwendung empfehlen wir eine lokal anpassbare Variante (zeitmäßig) dieser Formel, wobei $D_y$ durch $D$, die prognostizierte Nachfrage für die Dauer der Durchlaufzeit (d. h. Leitnachfrage $Z$ geteilt durch Durchlaufzeit), ersetzt wird.

Vergleich der beiden EOQ-Formeln

Unserer Meinung nach eignet sich unsere Mengenrabatt unterstreichende, ad-hoc EOQ-Formel (siehe Seitenanfang) besser für den Einzel- und Großhandel und ist profitabler als die klassische Losformel. Dies variiert in der Herstellungsindustrie. Leitet eine Bestellung eine neue Produktion ein, können tatsächlich signifikante Bestellkosten (Produktion) enstehen, jedoch ein, wenn überhaupt, geringer Vorteil durch anschließende Grenzstückkosten. Hier ist definitiv die klassische Losformel die geeignetere Lösung.