Por Joannes Vermorel, enero de 2012La EOQ es la cantidad del pedido de compra para el
reabastecimiento que minimiza los costes de inventario totales. El pedido se desencadena cuando el nivel de inventario llega al
punto de reorden. La EOQ se calcula para
minimizar una combinación de costes, como el coste de compra (que puede incluir descuentos por volumen), el coste de almacenaje de inventario, el coste de pedido, etc. La optimización de la cantidad de pedido es complementaria a la optimización de las
existencias de seguridad, que se centra en encontrar el
umbral óptimo para desencadenar la reorden.
Actualización de julio de 2020: El concepto de EOQ es un concepto bastante anticuado, profundamente anclado en la perspectiva estática en la que la demanda futura no solo se conoce perfectamente, sino que también es constante. Las fórmulas proporcionadas son de cadena de suministro "de manual", pero la perspectiva subyacente no funciona por diseño. Los pronósticos de demanda probabilísticos asociados con la evaluación de la contribución económica marginal de cada unidad adicional de stock resulta ser un método mucho mejor. Ya no recomendamos el uso del concepto de EOQ.
Modelo y fórmula
La fórmula de EOQ
clásica (ver el
modelo de Wilson en la sección a continuación) es, básicamente, una compensación entre el coste de pedido (que se supone que es una tarifa plana por pedido) y el coste de mantenimiento de inventario. Si bien esta fórmula de 1913 es extremadamente conocida,
recomendamos no utilizarla en ningún ambiente de cadena de suministro moderna. Los supuestos matemáticos que subyacen a esta fórmula simplemente no son correctos en la actualidad.
La fórmula histórica supone que el coste del
acto de hacer un pedido es el impulsor comercial clave. Ciertamente era un factor importante en 1913, cuando era necesario un ejército de empleados para la gestión manual de los libros, pero con un software de gestión de inventario y, posiblemente,
EDI, este factor generalmente resulta insignificante. Como resultado, la
optimización llevada a cabo por la fórmula tiene poco sentido, e ignora completamente cualquier descuento que pudiera estar disponible cuando se piden grandes cantidades.
Descargar hoja de Excel: eoq-calculator.xlsm (cálculo ilustrado)
Por estas razones, proponemos aquí una variante de la fórmula EOQ que
optimiza la compensación de los costes de almacenamiento con los descuentos por volumen. Veamos las variables:
- $Z$ será la demanda de tiempo de entrega.
- $H$ será el coste de mantenimiento por unidad durante el tiempo de entrega (1).
- $\delta$ será la cantidad de inventario delta necesaria para alcanzar el punto de reorden (2).
- $\mathcal{P}$ será el precio de compra por unidad, una función que depende de la cantidad del pedido $q$.
(1) El
alcance de tiempo que se considera aquí es el tiempo de entrega. Así, en lugar de considerar, como es habitual, el coste de mantenimiento
anual $H_y$, consideramos $H = \frac{d}{365}H_y$, asumiendo que $d$ es el tiempo de entrega expresado en días.
(2) La cantidad delta debe tener en cuenta tanto las existencias disponibles $q_{hand}$ como las existencias pedidas $q_{order}$, lo que da la relación $\delta = R - q_{hand} - q_{order}$ donde $R$ es el punto de reorden. Intuitivamente, $\delta+1$ es la cantidad mínima que debe ser pedida para poder obtener el
nivel de servicio deseado.
Luego, la
cantidad óptima del pedido está dada por (el razonamiento se detalla a continuación):
$$Q = \underset{q=\delta+1..\infty}{\operatorname{argmin}}\left(\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)\right)$$
Si bien puede parecer complicada, esta función puede calcularse fácilmente con Microsoft Excel, como se ilustra en la hoja proporcionada más arriba.
¿Qué sucede con el coste del pedido?
A primera vista, puede parecer que estuviéramos asumiendo un coste de pedido cero, pero esto no es así. De hecho, el marco que presentamos aquí es relativamente
flexible, y el coste del pedido (si existe) puede introducirse en la función de precio $\mathcal{P}$.
Función del coste
Para modelar la función de coste para la cantidad del pedido, que tiene en cuenta descuentos por volumen, introduzcamos el punto de reorden $R$. El coste del inventario es la suma del
coste de mantenimiento del inventario más el
coste de compra, es decir:
$$C(q)=\left(R+\frac{q-\delta-1}{2}\right)H+Z\mathcal{P}(q)$$
De hecho, adoptando un punto de vista amortizado sobre el período del tiempo de entrega, la cantidad total por pedir será $Z$ la
demanda de tiempo de entrega.
El nivel de inventario varía todo el tiempo, pero si consideramos las reórdenes estrictamente mínimas (es decir, $q=\delta+1$) entonces el nivel promedio de existencias a lo largo del tiempo es igual a $R$ el punto de reorden. Así, dado que estamos considerando una cantidad de orden mayor que $\delta+1$, esas cantidades adicionales ordenadas elevan el nivel de inventario promedio (y también posponen el momento en el que se llegará al próximo punto de reorden).
El $(q-\delta-1)/2$ representa el cambio en el nivel de inventario causado por la reorden asumiendo que la demanda de tiempo de entrega está distribuida uniformemente durante el tiempo de entrega. El factor 1/2 está justificado porque una cantidad de pedido aumentada de N solo aumenta el nivel de inventario promedio de N/2.
Minimización de la función de coste
Para minimizar $C(q)$, podemos comenzar aislando la parte que no depende de $q$ con:
$$C(q)=RH+\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)$$
Debido a que $RH$ no depende de $q$, optimizar $C(q)$ es igual a optimizar $C^*(q)$ donde:
$$C^*(q)=\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)$$
Entonces, en este contexto, debido a que la función de descuento por volumen $\mathcal{P}$ es una función arbitraria,
no hay una solución algebraica directa para minimizar esta fórmula. No obstante, esto no implica que esta minimización sea difícil de resolver.
Una minimización simple para $C^*(q)$ consiste en una
exploración numérica extensiva (simplista), es decir, el cálculo de la función para un rango más amplio de valores $q$. De hecho, prácticamente ningún comercio necesita cantidades de pedido mayores que 1.000.000 unidades, y dejar que un ordenador explore todos los valores de los costes para $q=1..1,000,000$ toma menos de 1 segundo, incluso si los cálculos se realizan en Excel, en un ordenador de escritorio normal.
Sin embargo, en la práctica, este cálculo puede acelerarse significativamente si asumimos que $\mathcal{P}(q)$ es una función
estrictamente decreciente, es decir, que el precio
por unidad disminuye estrictamente cuando la cantidad de pedido aumenta. De hecho, si $\mathcal{P}(q)$ disminuye, entonces podemos comenzar la exploración del valor en $q=\delta+1$ iteraciones y finalmente detenernos cuando se llega a la situación $C^*(q+1)>C^*(q)$.
En la práctica, el precio por unidad raramente aumenta con cantidades; aún así, pueden llegar a observarse algunas
irregularidades locales en la curva si se optimizan los envíos de
palés, o de cualquier otro contenedor que favorezca ciertas medidas de paquete.
En la hoja de Excel adjunta más arriba, asumimos que el precio por unidad disminuye estrictamente con la cantidad. Si este no fuera el caso, edite la macro EoqVD() para revertir al rango de exploración simplista.
Modelo de Wilson
La fórmula de EOQ más conocida es el Modelo de Wilson, desarrollado en 1913. Esta formula se vale de las siguientes suposiciones:
- El coste de pedido es plano.
- La tasa de la demanda es conocida, y se distribuye regularmente a lo largo del año.
- El tiempo de entrega es fijo.
- El precio de compra de la unidad es constante, es decir, no hay descuentos disponibles.
Veamos las siguientes variables:
- $D_y$ sería la cantidad de demanda anual
- $S$ sería el coste fijo plano por pedido (no un coste por unidad, sino el coste asociado a la operación de pedido y envío).
- $H_y$ sería el coste de almacenaje anual.
Bajos esos supuestos, el EOQ óptimo de Wilson es:
$$Q=\sqrt{\frac{2D_yS}{H_y}}$$
En la práctica, le sugerimos que utilice una variante más
ajustada localmente (que ahorra tiempo) de esta fórmula, donde $D_y$ se reemplaza por $D$ la tasa de demanda pronosticada para la duración del tiempo de entrega (también conocido como la demanda de tiempo de entrega $Z$ dividida por el tiempo de entrega), y donde $H_y$ se reemplaza por $H$, el coste de mantenimiento por la duración del tiempo de entrega.
Comparación de las dos fórmulas de EOQ
Tanto para los minoristas como para los mayoristas, creemos que nuestra fórmula de EOQ ad hoc presentada al principio de esta página, que enfatiza el los descuentos por volumen, se adapta mejor y, por lo tanto, es más rentable que el modelo de Wilson. Para fabricantes, depende. En particular, si el pedido desencadena una nueva producción, entonces, de hecho, podría haber un coste de pedido significativo (configuración de la producción) y poco o ningún beneficio en el coste marginal por unidad después. En una situación de este tipo, el modelo de Wilson sería más apropiado.
