Impact financier de la précision de la prévision des stocks

Par Joannès Vermorel, février 2012


Il est évidemment toujours bon d'avoir des prévisions de la demande plus précises quand il est question d'optimisation des stocks. Cependant, l’évaluation quantitative des gains financiers générés par une augmentation de la précision des prévisions reste généralement une zone floue pour la plupart des distributeurs et fabricants. Cet article détaille la façon de calculer les bénéfices générés par des prévisions améliorées.

La formule

Le détail de la preuve est donné ci-dessous, mais nous commençons ici par le résultat final. Introduisons les variables suivantes :

• soit $D$, la rotation (ventes annuelles totales).
• soit $m$, la marge brute.
• soit $\alpha$, le rapport entre le coût de la rupture de stock et la marge brute.
• soit $p$, le taux de service atteint avec le niveau d‘erreur actuel (et le niveau de stock actuel).
• soit $\sigma$, l’erreur de prévision du système en place, exprimée en erreur MAPE (Mean Absolute Percentage Error).
• soit $\sigma_n$, l’erreur de prévision du nouveau système en train d'être évalué (qui normalement devrait être inférieure à $\sigma$).
  

Le bénéfice annuel $B$ de la révision des prévisions est donné par : $$B = D (1 - p) m \alpha \frac{\sigma - \sigma_n}{\sigma}$$ Téléchargez la feuille Excel : accuracy-gains.xlsx (calcul illustré)

Exemple pratique

Prenons un grand réseau de distribution ayant réussi à obtenir une réduction de 10% de l'erreur (relative) sur les prévisions grâce à un nouveau système de prévision.

• $D=1 000 000 000 €$ (1 milliard d’Euros)
• $m=0,2 $ (marge brute de 20%)
• $p=0,97 $ (niveau de service de 97%)
• $\alpha=3 $ (coût des ruptures de stock égal à 3x la perte de marge brute)
• $\sigma=0,2 $ (erreur MAPE de 20%)
• $\sigma_n=0,18 $ (erreur MAPE de 18% - 10% inférieur, en relatif, à l’erreur précédente)
  

En nous basant sur la formule ci-dessus, nous obtenons un gain de $B=1 800 000 €$ par an. Si nous supposons que la rentabilité globale du distributeur est de 5%, nous constatons qu’une augmentation de 10% de la précision des prévisions contribue déjà à la rentabilité globale à hauteur de 4%.

Preuve de la formule

Fondamentalement, l'optimisation des stocks est un compromis entre le coût excédentaire du surstockage et celui des ruptures de stock.

Nous faisons l'hypothèse, pour l'instant, que, pour un niveau de stock donné, la fréquence des ruptures de stock est proportionnelle à l’erreur de prévision. Ce point sera démontré dans la section suivante.

Le volume total des ventes perdues du fait des ruptures de stock est facile à estimer : il s'agit de $D(1-p)$, au moins pour toute valeur raisonnablement élevée de $p$. En pratique, cette estimation fonctionne très bien si $p$ est supérieur à 90%.

Par conséquent, le volume total de marge perdue à cause des ruptures de stock est de $D(1-p)m$.

Ensuite, pour modéliser le coût réel de la rupture de stock, qui ne se limite pas à la perte de marge (on peut citer par exemple également la perte de fidélité des clients), nous introduisons le coefficient $\alpha$. La perte économique totale causée par les ruptures de stock devient donc $D(1-p)m\alpha$.

En nous basant sur l’hypothèse (démontrée ci-dessous) que les ruptures de stock sont proportionnelles à l’erreur, nous devons appliquer le facteur $(\sigma - \sigma_n) / \sigma$ comme étant l' évolution du coût de la rupture de stock causée par la nouvelle erreur moyenne sur les prévisions.

Ainsi, nous obtenons au final : $$B = D (1 - p) m \alpha \frac{\sigma - \sigma_n}{\sigma}$$

Les ruptures de stock sont proportionnelles à l’erreur

Nous allons démontrer maintenant l’affirmation posée ci-dessus, qui consiste à dire que, pour un niveau de stock donné, les ruptures de stock sont proportionnelles à l’erreur de prévision.

Pour ce faire, commençons avec des taux de service à 50% ($p=0,5 $). Dans ce contexte, la formule du stock de sécurité indique que les stocks de sécurité sont à zéro. La formule du stock de sécurité possède différentes variantes, mais elles se comportent toutes de la même manière à cet égard.

Avec des stocks de sécurité à zéro, il devient plus facile d’évaluer la perte causée par des erreurs de prévision. Lorsque la demande est supérieure à la prévision (ce qui se produit ici à 50% du temps en définissant $p=0,5 $), le pourcentage moyen de la perte de ventes est $\sigma$. Là encore, il s’agit simplement de la conséquence du fait que $\sigma$ est l’ erreur MAPE. Cependant, avec le nouveau système de prévision, la perte est $\sigma_n$.

Ainsi, nous voyons qu’avec $p=0,5 $, les ruptures de stock sont en effet proportionnelles à l’erreur. La réduction des ruptures de stock, lorsque l'on remplace l’ancienne prévision par la nouvelle, sera $\sigma_n / \sigma$.

A présent, qu'en est-il de $p \not= 0,5 $ ? En choisissant un taux de service qui n'est pas à 50%, nous transformons le problème de prévision moyenne en problème de prévision quantile. Ainsi, la mesure de l’erreur appropriée pour les prévisions quantiles devient la fonction de perte pinball, au lieu de l'erreur MAPE.

Cependant, étant donné que nous pouvons faire l'hypothèse ici que les deux prévisions moyennes (l’ancienne et la nouvelle) seront extrapolées en tant que quantile (pour calculer le point de commande) avec la même formule, le rapport des erreurs respectives restera le même. En particulier, si le stock de sécurité est faible (moins de 20%) comparé au stock principal, cette approximation s'avère excellente en pratique.

Coût des ruptures de stock (α)

Le facteur $\alpha$ a été introduit pour refléter l’impact réel d’une rupture de stock sur l'activité. A minima, nous avons $\alpha = 1$ parce que la perte causée par une rupture de stock supplémentaire est au moins égale au volume de la marge brute perdue. En effet, lorsque nous prenons en compte le coût marginal d’une rupture de stock, tous les coûts d’infrastructure et de main d’œuvre sont fixes, par conséquent, on devrait considérer la marge brute.

Cependant, le coût d’une rupture de stock est généralement supérieur à celui de la marge brute. En effet, une rupture de stock entraîne :

• une perte de la fidélité du client.
• une perte de la confiance du fournisseur.
• des mouvements de stock plus erratiques, créant des tensions sur les capacités de la Supply Chain (stockage, transport, ...).
• des efforts supplémentaires pour les équipes en aval qui essaient de compenser les ruptures de stock d’une manière ou d’une autre.
• ...
  

Chez plusieurs grands réseaux de distribution alimentaire, nous avons observé que, en règle générale, les professionnels supposent que $\alpha=3$. Ce coût élevé associé aux ruptures de stock est également la raison pour laquelle, en premier lieu, ces mêmes réseaux de distribution cherchent généralement des niveaux de service élevés, supérieurs à 95%.

Idées reçues sur les stocks de sécurité

Dans cette section, nous remettons en cause une idée reçue sur l’impact des gains de précision, qui peut être formulée de la façon suivante : une précision accrue réduit uniquement les stocks de sécurité.

En examinant la formule du stock de sécurité, on pourrait être tenté de penser que l’impact d’une erreur de prévision réduite se limite en effet à la réduction du stock de sécurité, toutes les autres variables restant inchangées (les ruptures de stock en particulier). C’est une incompréhension majeure.

L’analyse classique du stock de sécurité divise le stock en deux composants :

• le stock principal, équivalant à la demande outil, à savoir la prévision de la demande moyenne, multipliée par le délai de réapprovisionnement.
• le stock de sécurité, équivalant à l’ erreur de la demande, multipliée par un coefficient de sécurité dépendant principalement de $p$, le taux de service.
  

Revenons à la situation dans laquelle le niveau de service est égal à 50%. Dans cette situation, les stocks de sécurité sont à zéro (comme on l'a vu précédemment). Si l’erreur de prévision se répercutait uniquement sur le composant stock de sécurité, cela signifierait que le stock principal serait immunisé contre toute mauvaise prévision. Cependant, étant donné que, dans le cas présent, il n’y a aucun stock en plus du stock principal, nous aboutissons à la conclusion absurde que tout le stock est immunisé contre des prévisions arbitrairement mauvaises. De toute évidence, cela n’a aucun sens. On en déduit que l’hypothèse initiale selon laquelle seuls les stocks de sécurité sont touchés est fausse.

Magré le fait qu'elle soit fausse, l’hypothèse d'un impact sur le stock de sécurité uniquement est tentante, parce que lorsque l’on examine la formule du stock de sécurité, cela apparaît comme une conséquence immédiate. Cependant, il ne faut pas tirer de conclusions trop hâtives : ce n’est pas la seule et unique conséquence. Le stock principal est également basé sur la prévision de la demande, et c’est le premier à être touché par une prévision plus précise.

Sujets avancés

Dans cette section, nous approfondissons les points qui avaient été omis dans la discussion ci-dessus pour plus de clarté et de simplicité.

Impact des délais de réapprovisionnement variables

La formule ci-dessus indique que le fait de réduire l’erreur de prévision à 0% devrait amener également les ruptures de stock à zéro. D’une part, si la demande du client pouvait être anticipée 1 an à l’avance avec une précision de 100%, l'obtention de niveaux de stock presque parfaits semblerait moins exceptionnelle. D’autre part, certains facteurs tels que la variation du délai de réapprovisionnement compliquent la tâche. Même si la demande est parfaitement connue, un délai de livraison variable peut générer des incertitudes supplémentaires.

En pratique, nous observons que l'incertitude liée au délai de réapprovisionnement est généralement faible comparée à l'incertitude liée à la demande. Ainsi, négliger l’impact d’un délai de réapprovisionnement variable est raisonnable tant que les prévisions restent elles-mêmes assez imprécises (pour des erreurs MAPE environ supérieures à 10%).